Анализ процессов в асинхронном двигателе и преобразователях частоты обычно выполняют в предположении независимости входных токов н напряжений от режима и условий работы ЭПС. В реальных системах параметры источника питания, емкость конденсатора фильтра и индуктивность сглаживающего реактора имеют конечные значения, а мощность нагрузки соизмерима с мощностью источника питания. Энергию, поступающую от контактной сети к тяговым двигателям, подвергают многократным преобразованиям, используя входные и выходные преобразователи. Поскольку входные преобразователи выполняются на полупроводниковых приборах, имеющих нелинейные характеристики, при таком преобразовании наряду с основными составляющими токи и напряжения содержат значительные дополнительные переменные составляющие.

В свою очередь выходные преобразователи, обладая частотно-избирательными свойствами, могут усиливать эти переменные составляющие, значения которых достигают (а иногда и превышают) значения основной составляющей.

На рис. 8.1 для примера показан характер изменения тока и напряжения и„ инвертора, а также выпрямленного напряжения и тока выпрямителя ^ при питании асинхронного двигателя от инвертора напряжения с частотой Д = 17,5 Гц. Наряду с переменными составляющими, обусловленными выпрямленным напряжением, появилась дополнительная гармоника с частотой 5 Гц и амплитудой, равной основной составляющей. Как будет показано дальше, эта гармоника в токах 1_и, и напряжении ы_н возникает в результате взаимодействия гармоники напряжения и_л с частотой 100 Гц и гармоники тока инвертора с частотой 6 ^ = 105 Гц.

Уже одного этого примера достаточно, чтобы показать, что неучет конечных параметров фильтра, свойств источника питания и входного преобразователя, взаимного влияния элементов тягового привода приводит к ошибкам при анализе электромагнитных процессов в силовых цепях ЭПС с АТД. Поэтому тяговый привод с асинхронными двигателями следует рассматривать как сложную систему, содержащую ограниченное множество элементов, объединенных определен

ными связями, используя для его анализа системный подход [33]. При этом в целой системе можно выделить подсистемы, представляющие некоторую часть элементов системы, выполняющих определенные функционально завершенные преобразования. В зависимости от степени детализации функциональных преобразований, выполняемых подсистемами, любая сложная система может быть представлена различным числом подсистем.

Так, в одном из вариантов тяговая система может содержать подсистемы электропитания, локомотив и поезд. В свою очередь каждая подсистема или элемент системы может рассматриваться как система. Рассматривая подсистему локомотив с АТД применительно к решаемой задаче как систему, в ней можно выделить подсистемы, соответствующие электрической, механической и управляющей частям [34], каждая из которых выполняет функционально завершенные преобразования.

В подсистеме Электрическая часть осуществляется преобразование электрической энергии, поступающей от системы электропитания, в механическую энергию на валу асинхронного тягового двигателя.

Подсистема Механическая часть преобразует момент на валу тягового двигателя в силу тяги или торможения, действующую на поезд и реализуемые вследствие наличия сцепления движущих колес с рельсами.

Подсистема Управляющая часть в соответствии с заданным алгоритмом осуществляет преобразование выходных координат, характеризующих состояние системы, в управляющие воздействия на электрическую часть системы.

Поскольку каждая система или подсистема окружена внешней средой, то она взаимодействует с ней посредством входных воздействий привода при /1 = 17,5 Гц со стороны внешней среды на систему и выходных воздействий со стороны системы на внешнюю среду. При этом в качестве внешней среды по отношению к конкретной подсистеме могут выступать другие подсистемы, образующие целую систему. Каждая система может быть формализована и представлена некоторой математической моделью ее функционирования. При этом различают детерминированные математические модели, которые могут быть статическими и динамическими [35, 37].

Рис. 8.1. Кривые токов и напряжений элементов системы асинхронного тягового

Рис. 8.2. Функциональная схема системы тягового привода с асинхронными двигателями

В обобщенную функциональную схему системы асинхронного тягового привода (рис. 8.2) входят подсистемы, соответствующие электрической, механической и управляющей частям. В качестве входных и выходных воздействий для каждой подсистемы следует рассматривать следующие.

Электрическая часть: входные воздействия - напряжение контактной сети ц_кс, угловая скорость вращения ротора АТД со, сигналы управления р!, .... р_т; выходные - ток в контактной сети 1_кс, вращающий момент М на валу асинхронного тягового двигателя, наблюдаемые переменные .... 1_т.

Механическая часть: входные воздействия - момент двигателя М и скорость движения и; выходные - угловая скорость вращения о>, сила тяги Т⁷ н наблюдаемые переменные Z_m+1, ..., 1_п.

Управляющая часть: входные воздействия - наблюдаемые переменные .....Ъ_п\ выходные - сигналы управления р,, .... р_т.

Все подсистемы взаимодействуют друг с другом, причем выходные воздействия одной подсистемы являются входными для другой. Поэтому достоверные результаты анализа процессов в системе асинхронного тягового привода во всех режимах могут быть получены при моделировании всех указанных подсистем [38]. Вместе с тем подсистемы могут рассматриваться как самостоятельные, если выполняется следующее условие: изменение выходных координат подсистемы не приводит к изменению входных. Применительно к подсистеме Электрическая часть выполнить это условие возможно при независимости напряжения в контактной сети от тока и постоянства частоты вращения ротора АТД. Для этого необходимо, во-первых, параметры контактной сети учесть в параметрах элементов электрической части; вовторых, рассматривать режимы, при которых момент на колесной паре не превышает момента сил сцепления, и, в-третьих, рассматривать установившиеся режимы для подсистемы Управляющая часть.

С учетом сказанного подсистему Электрическая часть можно рассматривать как самостоятельную. В нее входят элементы: входной фильтр Ф/, входной преобразователь Я/, промежуточный фильтр Ф2, выходной преобразователь П2 и асинхронный тяговый двигатель АТД. В некоторых случаях в зависимости от структурного построения преобразователя для питания АТД отдельные элементы в системе могут отсутствовать, например, при питании ЭПС от контактной сети постоянного тока и использовании АИН с внутренним регулированием.

Функциональную схему подсистемы Электрическая часть следует использовать при анализе электромагнитных процессов в силовых цепях ЭПС в установившихся по отношению к внешним воздействиям режимах. Выделение же из указанной подсистемы отдельных элементов возможно только для изучения каких-либо определенных их свойств.

Все элементы подсистемы Электрическая часть взаимодействуют друг с другом. В качестве входных и выходных воздействий могут выступать токи или напряжения. Сигналы управления, поступающие па элементы подсистемы Электрическая часть, несут информацию о требуемых параметрах напряжения или тока на выходах преобразователей .

Для анализа электрической части системы асинхронного тягового привода необходимо составить математические модели каждого элемента, объединив которые, получим математическую модель всей подсистемы .

Математическое описание процессов в каждом элементе подсистемы не представляет особых затруднений. При этом математические модели «непрерывных» элементов подсистемы, таких, как фильтры, АТД, могут быть представлены системой дифференциальных уравнений. Для преобразователей, при условии замены тиристоров и диодов идеальными ключами, следует использовать алгебраические уравнения, устанавливающие связь между входными и выходными параметрами. Поскольку в процессе работы преобразователей состояние тиристоров и диодов изменяется в соответствии с алгоритмом их переключения, то уравнения, описывающие процессы в преобразователях, являются кусочно-непрерывными. Это приводит к тому, что каждому интервалу фиксированного состояния полупроводниковых приборов соответствуют свои системы уравнений, отличающиеся либо числом уравнений, либо коэффициентами.

Для исследования таких систем применяется кусочно-лннейный метод, основанный на численном интегрировании дифференциальных уравнений. Являясь наиболее точным, этот метод имеет ряд недостатков: сложность, громоздкость при анализе больших систем, недостаточная наглядность в выявлении общих закономерностей, большие за

траты времени при исследовании установившихся процессов и получении интегральных оценок.

Создание же точных аналитических методов для анализа процессов в электрических цепях, содержащих полупроводниковые преобразователи, в общем случае является чрезвычайно трудным и практически не представляется возможным. Однако если рассматривать процессы при неизменных сигналах управления преобразователями, то задача существенно упрощается и может быть сведена к исследованию электрических цепей с переменными, периодически изменяющимися параметрами [38, 391. В этом случае расчет электромагнитных процессов в силовых цепях может быть выполнен спектральным методом, основанным на использовании преобразования Фурье [40].

Сущность спектрального метода анализа процессов в электрических цепях, содержащих полупроводниковые преобразователи, заключается в следующем:

для «непрерывных» элементов подсистемы, входных и выходных по отношению к преобразователю цепей, составляют уравнения электрического равновесия, выражая входящие в них переменные через входные и выходные токи и напряжения преобразователя;

на основании алгоритма работы преобразователя, а также баланса мощности со стороны входа и выхода преобразователя составляют уравнения связи между входными и выходными токами и напряжениями, для чего используют переключающие или коммутационные функции. Так как последние являются периодическими кусочно-непрерывными функциями времени, то их представляют при помощи рядов Фурье;

решая полученную таким образом систему уравнений одним из из вестных методов, находят выражения для искомых переменных, кото рые используют для анализа переходных и установившихся режимов работы схемы [38-41].

Так как для ЭПС наиболее характерным является установившийся режим работы, то в дальнейшем анализ процессов в силовых цепях выполнен применительно к этому режиму.

В качестве «непрерывных» элементов в зависимости от структуры преобразователя на ЭПС могут применяться индуктивные, емкостные, индуктивно-емкостные фильтры, а также трансформаторы (рис. 8.3, а-г) и асинхронные тяговые двигатели. Независимо от сложности схемы «непрерывных» элементов уравнения электрического равновесия для них должны быть составлены таким образом, чтобы в них содержались входные и выходные токи и напряжения преобразователей, иными словами, «непрерывныеэлементы» необходимо рассматривать как пассивные четырехполюсники.

Используя операторную форму записи дифференциальных уравнений, при нулевых начальных условиях имеем:

для индуктивного фильтра:

Рис. 8.3. Схемы непрерывных элементов подсистемы Электрическая часть: а-в - фильтры нндуктнвный, емкостный н нндуктнвно-емкостный соответственно; г-трансформатор

где 1/ц (р), 1_и (р) и и_и (р), 1ц (р) - изображения напряжений и токов на входе и выходе 1-го элемента; гц ?_{, - соответственно активное сопротивление, индуктивность и емкость {-го элемента.

Схема замещения трансформатора при пренебрежении током намагничивания становится подобна схеме индуктивного фильтра, индуктивность и активное сопротивление которого определяются с учетом приведения параметров первичной стороны к параметрам вторичной стороны по известным правилам. При этом связь между приведенными входными и выходными переменными устанавливается уравнениями (8.1).

Математическую модель АТД с короткозамкнутым ротором принимаем с учетом общепринятых допущений: фазные обмотки выполнены одинаковыми и расположены симметрично по окружности статора (ротора); воздушный зазор равномерный; потери в стали статора и ротора не учитываются; отсутствует эффект вытеснения тока; насыщение магнитопровода учитывается путем введения в расчет параметров, соответствующих насыщенному магнитопроводу, что позволяет в неподвижной относительно статора системе координат записать следующие дифференциальные уравнения [8, 9]:

(8.4)

где <] н і] - соответственно векторы напряжения и токов статора и ротора; г₁₍ г,, Ц, ?, и - соответственно активные сопротивления, полные индуктивности и индуктивность от главного потока статора и ротора; со - угловая скорость вращения ротора.

При постоянстве угловой скорости (о уравнения (8.4) в операторной форме имеют вид:

Как отмечалось, для возможности рассмотрения подсистемы Электрическая часть как самостоятельной необходимо параметры контактной сети учесть в параметрах входного фильтра, который на ЭПС имеет, как правило, индуктивный вход.

Математические модели преобразователей зависят от типа преобразователя и алгоритма переключения его диодов и тиристоров. Ограничивая задачу анализом процессов в силовых цепях ЭПС, получающего питание от контактной сети переменного тока, рассмотрим структуры преобразователя, содержащего входной преобразователь - выпрямитель и выходной - инвертор напряжения. При этом будем считать, что регулирование напряжения АТД осуществляется выпрямителем.

Связь между входными и выходными токами и напряжениями выпрямителя с использованием коммутационных функций выражают следующие уравнения [38, 39]:

(8.7)

где и_г и і, - напряжение и ток на входе выпрямителя; иа и Ц - то же на выходе выпрямителя; Д|_и и Дц - коммутационные функции выпрямителя по напряжению и току.

Коммутационные функции выпрямителя можно определить из рассмотрения диаграмм токов и напряжений однофазного выпрямителя (рис. 8.4). В режиме непрерывного тока нагрузки і_л коммутационная функция /сіц во внекоммутационные интервалы равна /_гіи = ±1 и на интервале коммутации равна 0. Коммутационная функция выпрямителя по току Дл во внекоммутационные интервалы совпадает с [_Ли и на коммутационных интервалах при линеаризации процесса коммутации изменяется по линейному закону 139]. При этом коммутационныефункции выпрямителя как периодические функции времени можно представить в виде рядов Фурье:

(8.8)

Рис. 8.4. Схема однофазного управляемого выпрямителя (а), кривые выпрямленного напряжения, входного тока и коммутационные функции выпрямителя по напряжению и току (б)

где С^п и и С"- комплексные амплитуды л-й гармоники коммутационной функции; (о_с = 2я/_с - угловая частота напряжения питающей сети.

Комплексные амплитуды С2 и С? зависят от углов управления а, коммутации у н для од-нозоиного выпрямителя

_е-/(2г» + <2п-И)у]

^С" /л(2л+1)

(8.9)

С? =

2_е-1 (2п+1)<*|_е -1 (2л + 1)У _)] яу(2л+1)*

(8.10)

Аналогично можно определить коммутационные функции выпрямителя и для других схем.

Связь между входными и выходными токами и напряжениями инвертора также установим при помощи коммутационных функций инвертора. Коммутационные функции инвертора зависят от длительности включенного состояния тиристоров, схемы соединения нагрузки и режима ее работы. Для инвертора напряжения при длительности включенного состояния диодов и тиристоров 180° н схеме соединения «звезда» фазные коммутационные функции /д, /в и /с представляют ступенчатые

Рис. 8.5. Фазные коммутационные функции инвертора (а) и результирующий вектор (б)

(8.15)

Поскольку коммутационная функция инвертора является периодической функцией, то ее также можно представить в виде ряда:

(8.16)

где С* = -- - - --- комплексная амплитуда к-й гармоники вектора комму-]П (6к + 1)

тациониой функции; ш₁ = 2л/! - угловая частота напряжения на выходе инвертора.

Из выражений (8.16) видно, что вектор 1 равен сумме бесконечно-

2

го числа векторов с амплитудами - , вращающихся на компя (6^+1)

лексной плоскости с угловой частотой |(6А + 1) (0х| в прямом или обратном направлении. Направление вращения определяется знаком числа 6 к + 1, который для прямовращающнхся векторов будет положительным, а для обратновращающихся - отрицательным.

С учетом сказанного расчетная схема подсистемы Электрическая часть для рассматриваемого варианта структуры преобразователя показана на рис. 8.6. На этой схеме: и_вх и (₂ - приведенные ко вторичной обмотке напряжение н ток контактной сети; и г_вх - индуктивность и активное сопротивление входной цепи с учетом параметров контактной сети, также приведенные ко вторичной обмотке трансформатора; 1*6, га н Са - параметры промежуточного нндуктнвно-емкос-тного фильтра.

Полная система уравнений, составленная с учетом выражений (8.1), (8.3), (8-6), (8.7) и (8.15), в операторной форме записи имеет вид:

где л=-оо.....-1,0,1..... оо; /г= -оо,..., -1,0,1,.. .оо.

При записи операторных выражений для уравнений связи использована теорема смещения, согласно которой е^а< У⁷ (У) -> ^ (р - а).

Рис. 8.6. Расчетная схема подсистемы Электрическая часть преобразователя: I - выпрямитель; 2 - инвертор

Система уравнений (8.17) при известном напряжении II _ах (р) позволяет найти общее решение относительно любой интересующей переменной. В установившемся режиме при входном напряжении [381

II _ ¦- і У^{вх тах} ( /®с< _ - /“с* I /О ₁₀,

^ивх - ^вх тах^8,п й>с<- ^ \е -е ) (8.18)

ток промежуточного звена 1_а, а также напряжение на входе инвертора могут быть представлены в виде сумм гармонических рядов:

(8.19)

(8.20)

где т оо, 1,0,1. ...» ⁰⁰> Л оо, .... 1,0,1, .... оо, 1/_вх тах

амплитуда входного напряжения; {/“• " и I™' ^п - комплексные амплитуды гар. моник с комбинационными частотами а^т’ ^п = 2лш_с + 6 та,.

Приложенное к подсистеме Электрическая часть напряжение ы_вх вызывает в промежуточном звене (7,С-фнльтре) бесконечный ряд гармонических колебаний с частотами (о^т'^я = 2л(о_с + бтсо,, т. е. в токах и напряжениях на элементах промежуточного звена наряду с гармониками с частотами 2л/_с и 6т/,, обусловленными выпрямленным напряжением и пульсациями тока инвертора, появились дополнительные комбинационные гармоники с частотой

Г'^п= |2л/_с+6т/₁| . (8.21)

На основании выражения (8.21) можно построить графики для определения частотного состава спектров напряжения ы„ и токов 1_Й, для чего необходимо зафиксировать индексы шипи, изменяя /„ определить /"*•". На рис. 8.7 приведены зависимости /^т'" (/,) для нескольких значений индексов тип. Из анализа выражения (8.21), а также зависимостей, показанных на рис. 8.7, следует, что в спектрах токов и напряжений могут проявляться как высоко-, так и низкочастотные составляющие. Например, при /1 = 8; 16 и 33 Гц комбинационные частоты /^т'", для которых индексы тип имеют разные знаки, составляют доли и единицы герц. В частности, при частоте/, = 17,5 Гц

(см. рис. 8.1) и значениях индексов п - - ±1 иш = ±1 комбинационная частота

₌ Л _ | 2/с-6/, | =

= /'• “‘= I -г/с+бМ =5 Гц. Установив таким образом частотный состав спектров токов и напряжений, обратимся к определению амплитуд соответствующих гармоник токов и напряжений, для чего найдем решение уравнений (8.17). Так как в этих уравнениях все переменные, за исключением ы_вх, являются неизвестными, то уравнения (8.17) следует разрешить относительно одной из переменных.

Выбирая в качестве искомой переменной ток выпрямителя, будем искать решение уравеиий (8.17) в виде (8.20). В дальнейшем для упрощения записи, когда нет специальных оговорок, полагаем, что суммирование по какому-либо индексу производится в бесконечных пределах, а знаки двойных и более сумм заменяются знаком одной суммы. В этом случае выражение (8.20) принимает вид

Рис. 8.7. Зависимости f^m,n (Л)для значений индексов т=0, ±1, ±2 и п=О, ±1. ±2

Выражение (8.29) устанавливает связь между напряжениями в контактной сети и на входе инвертора с учетом параметров и свойств входного преобразователя.

Рассмотрим процессы в выходном преобразователе и нагрузке, считая, что напряжение инвертора задано в виде, представленном выражением (8.29).

Из первого уравнения (8.15) с учетом выражений (8.16) и (8.19) получим

;,= 2 ^ц*'^л с*е^ 1^2л<вс+^(6т+^б*+^1> “•) _{(8 30)}

т.п,к

Из последнего уравнения (8.17) для установившегося режима

Это сопротивление

При выводе уравнения (8.37) использовано выражение (8.29) с учетом уравнения (8.27). Так как уравнение (8.37) должно удовлетворяться при произвольном значении времени t, то его можно представить

где IIЛГ- *|^л’ ^у| - клеточная матрица ранга 2п-|-1, каждая клетка которой есть матрица 1А/^т’ *| ранга 2/я+1; ||/2'|^л| - столбцовая клеточная матрица размера 2п+1, каждая клетка которой есть также столбцовая матрица \1™\ размера

2т + 1; ||?^т|^л| и |?^т| - соответственно столбцовая клеточная и столбцовая матрицы размеров 2п+1 и 2т+1.

В уравнениях (8.44) индексы л и V обозначают л-ю строку и у-й столбец, на пересечении которых расположена матрица \Ы^т- ^в|^л'^у; индексы т и <7 - л!-ю строку и <7-й столбец, на пересечении которых расположен элемент матрицы N^m• *•^л- ^у.

Таким образом, каждый элемент матрицы ||Л^^т>*|^л. *| имеет четыре индекса, два из которых (я, V) определяют принадлежность к определенной клетке - матрице, а пара других т, ц. - его место в рассматриваемой клетке. Такое обозначение является очень удобным и позволяет просто находить необходимые элементы для формирования уравнений (8,44). Опуская промежуточные преобразования, запишем выражения для нахождения элементов диагональных клеток |№^т-«|^л-^л: диагонального

Как показывает анализ, вычисление коэффициентов в уравнениях (8.40)-(8.43), являющихся бесконечными суммами, может быть с достаточной точностью заменено суммированием конечного числа членов рассматриваемых рядов. Это связано с тем, что члены указанных рядов убывают не медленнее, чем квадрат их номера.

Уравнение (8.44) дает возможность провести полный анализ электромагнитных процессов в силовых цепях ЭПС. Решение этих уравнений позволяет определить ток 1й, а также определить остальные переменные, характеризующие состояние подсистемы Электрическая часть. Квадратная система (8.44), в случае если Д Ф 0, имеет единственное решение:

/2*-^л= Д^т-^Л/Д, (8.50)

где Д - определитель системы; Д'"’ ^л - определитель, полученный из определителя Д заменой т, п-го столбца столбцом свободных членов \ \Е^т\^п\.

Бесконечные числовые определители, фигурирующие в выражении (8.50), приводятся к нормальному виду делением левой и правой частей уравнений (8.44) на слагаемое диагонального элемента Z’i'ⁿIZc'". Получающиеся от такого деления коэффициенты при неизвестных стремятся к нулю при т, п -+¦ оо не медленнее, чем 1/(т + л)².

а бесконечные определители имеют конечное значение и их вычисление может быть заменено вычислением конечного определителя путем двойного окаймления диагональной клетки центральной строки и диагонального элемента центральной строки каждой клетки. В этом случае бесконечная система уравнений (8.44) приводится к конечной системе с общим числом уравнений (2л4-1) (2т + 1). Например, для случая л =1 и т - \ система уравнений примет вид

По известным соотношениям [391 для простейших случаев бесконечных определителей можно определить ранг окаймленного определителя как функцию заданной точности вычисления определителей методом оценки мажоранты и миноранты бесконечного произведения, полученного из элементов бесконечного определителя.

Применительно к рассматриваемым определителям получить выражение для нахождения ранга окаймленного определителя, обеспечивающего заданную точность его вычисления, затруднительно. Поэтому для практических расчетов ранг окаймленного определителя можно находить в результате сравнения решений уравнения (8.50), получающихся при последовательном переходе к определителям более высокого ранга.

На основе указанной выше методики для различных параметров элементов электрической части и различных режимов работы АТД были найдены решения уравнения (8.50) при различных рангах окаймленного определителя. Анализ полученных результатов показал, что при переходе от системы уравнений порядка (2л 4- 1) (2т 4- 1) к системе уравнений порядка [2 (л 4-1) 1] [2(т 4 1) 4 П в спектре то

ка (д появляются дополнительные слагаемые, соответствующие индексам т + I и л + 1. На точность определения ранее найденных гармоник тока переход к системе уравнений более высокого порядка практически не оказывает влияния. Например, относительная погрешность в определении гармоники тока /2’°, найденной при решении 2т -г 1 = 1 уравнения и 2т + 1 = 9 уравнений не превысила 5 %. Поэтому для практических расчетов выбор ранга окаймленного определителя можно устанавливать из желаемого числа составляющих спектра тока.

Анализ процессов в силовых цепях ЭПС может быть существенно упрощен, если составляющие спектра тока /З¹'" и /™'’' оказываются слабосвязанными. Последнее имеет место, если отношение между индуктивностью сглаживающего реактора и индуктивностью входной цепи больше пяти. В этом случае система уравнений (8.38) распадается на 2п + 1 независимую систему, решение которых может быть выполнено для фиксированного значения индекса п. При этом во входной цепи учитывается влияние одноименных гармоник тока. С учетом указанных упрощений рассмотрим токи и напряжения на выходе преобразователей для конкретной схемы силовой цепи ЭПС.

Применительно к рассматриваемой схеме силовой цепи (см. рис. 8.6) значения гармоник токов и напряжений могут быть получены в результате решения системы уравнений (8.38) с учетом упрощающих допущений. При этом амплитуды гармоник выпрямленного напряжения 1/3, фигурирующие в правых частях уравнений, являются приведенными к выходу выпрямителя и определяются значением напряжения на входе подсистемы и коммутационной функцией выпрямителя:

В общем случае амплитуда и начальная фаза л-й гармоники выпрямленного напряжения будут изменяться в зависимости от значений углов а и у, поэтому для анализа процессов потребовался бы расчет большого числа вариантов различных комбинаций углов а и у. Однако если рассматривать случай, когда отношение частот е выражается иррациональным числом, то токи и напряжения элементов преобразователя будут двоякопериодическими функциями времени и начальная фаза напряжения ы_вх не имеет принципиального значения.

Для упрощения анализа, а также возможности распространения результатов на случай произвольного спектра выпрямленного напряжения целесообразно принять комплексную амплитуду гармоники напряжения и а = 1,0. При этом если в реальном спектре и л Ф 1,0* то для получения реального спектра искомой переменной достаточно умножить полученные результаты на относительную амплитуду я-й гармоники напряжения [см. уравнение (8.52)].

Зависимости гармоник тока выпрямителя и напряжения на входе инвертора в функции частоты основной гармоники тока двигателя (рис. 8.8 и 8.9) определены для схемы силовой цепи (см. рис. 8.6) при

8.2. Спектральный состаа токов и напряжений на выходе преобразователей частоты

(8.52)

следующих параметрах ее элементов: индуктивность сглаживающего реактора = 4 мГн и его активное сопротивление г,* = 0,01 Ом, емкость конденсатора фильтра С_л = 1000 мкФ. Нагрузкой является асинхронный тяговый двигатель НБ-602. Регулирование частоты тока статора осуществляется при постоянной частоте тока ротора = 1,0 Гц.

Постоянные составляющие спектров тока /3'® и напряжения 1/5'®, соответствующие индексам т = 0 и п = 0, определены при единичном значении постоянной составляющей выпрямленного напряжения

Рис. 8.8. Зависимости гармоник тока выпрямителя и напряжения на входе инвертора от частоты основной гармоники тока двигателя

Рис. 8.9. Зависимости ОХ’")* ^и от частоты основной

гармоники тока двигателя

и л = 1,0, что позволяет при известном фактическом выпрямленном напряжении найти абсолютные значения тока выпрямителя и напряжения инвертора. Значения гармоник с индексами тип, отличными от нуля, определены в относительных единицах:

Анализируя зависимости (см. рис. 8.8 и 8.9), можно отметить следующие особенности электромагнитных процессов.

Постоянная составляющая напряжения инвертора 1/?^,ф практически равна напряжению и% и отличается от последнего на значение падения напряжения на активном сопротивлении сглаживающего реактора г_а.

Амплитуды гармоник тока выпрямителя (1Ь‘°)*, (/3 °)* и напряжения инвертора (ии^,в)*, {ин’°)* с частотами 6/х и 12 /_а, так называемые «шестикратные» пульсации, в диапазонах частот двигателя = - (154-20) Гц и !х = (274-37) Гц значительно возрастают. Последнее связано с тем,что в указанном диапазоне изменения частоты ^ частота возмущений /_>оЭМ = 6/! или /_воам = 12/х совпадает с собственной частотой контура, образованного конденсатором фильтра и параллельно подключенными сглаживающим реактором и тяговым двигателем. При этом эквивалентная индуктивность, вносимая двигателем в рассматриваемый контур, определяется в основном индуктивностями рассеяния. Так как индуктивность сглаживающего реактора приблизительно на порядок больше индуктивностей рассеяния двигателя, то для приближенной оценки резонансной частоты можно учитывать только эквивалентную индуктивность двигателя, что позволяет определить /_рез а 200 Гц.

В ходе экспериментальных исследований на стенде асинхронного тягового привода также было отмечено указанное явление. Из осциллограммы токов и напряжений в промежуточном звене (рис. 8.10, а) видно, что при частоте тока статора = 35,2 Гц напряжение инвертора и_н содержит составляющую и^⁰, практически равную постоянной составляющей 172’°. Вместе с тем было установлено, что амплитуда пульсаций напряжения на входе инвертора не превышает его среднего значения. Последнее объясняется тем, что в автономном инверторе напряжения главные тиристоры шунтированы обратными диодами, которые создают обратную проводимость по входу инвертора. Поэтому при различных переходных процессах, связанных с изменением напряжения на входе инвертора, исключается появление отрицательного напряжения и„< 0 и минимальное его значение фиксируется на нулевом уровне. Моменты времени, в которые происходит включение обратных диодов и шунтирование входа инвертора, на осциллограмме обозначены и t_г.

Отмеченная особенность накладывает определенные ограничения на применимость уравнений (8.38) для расчета процессов в подсистеме Электрическая часть в околорезонансных зонах, поскольку уравнения (8.38) были получены в предположении однозначного соответствия

между токами нагрузки и инвертора. При включении обратных диодов вход инвертора шунтируется, что приводит к нарушению равенства (8.15). В случаях когда амплитуды гармоник напряжения и<п. п ^ уо.о результат расчетов по формуле (8.50) хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Кривые гармоник тока и напряжения с комбинационными частотами 1^т’^п, соответствующие индексу п Ф 0, позволяют выявить особенности электромагнитных процессов, вызванные пульсациями напряжения выпрямителя. Для примера на рис. 8.9 приведены кри-

Рис. 8.10. Осциллограммы токов и напряжений в промежуточном эвене постоянного тока при /1*=35,2 Гц (я) и /1=70 Гц (в)

вые (!”' ")* и (и™' ")*, обусловленные гармоникой напряжения выпрямителя с частотой 100 Гц, которые, взаимодействуя с гармониками кратности т = 0; -1; -2, образуют составляющие с комбинационными частотами /°*¹ = 100Гц, /-¹*¹, = 100 - 6 /„ /~**¹ = 100-12

Рассматриая кривые (/7^1,1)* и (0й¹'¹)*, следует отметить наличие двух максимумов: первого - при частоте 16 Гц и второго - при частоте 1 ж 48 Гц.

Первый максимум объясняется тем, что при частоте » 16 Гц комбинационная гармоника имеет частоту /~^1,1 = 0. Поэтому

сопротивление сглаживающего реактора для этой гармоники тока резко снижается, что приводит к ее увеличению. Амплитуда гармоники (/й*'¹)* в этом случае определяется только гармоникой (/7'’¹)*» генерируемой нагрузкой. Поскольку для этой гармоники инвертор оказывается зашунтирован сглаживающим реактором, то хотя гармоника напряжения (11й'•')* ^и имеет максимум при указанной частоте, абсолютное ее значение мало: (1/й^1,1) < 0,05. Отмеченная особенность подтверждается и экспериментальными данными (см. рис. 8.1). В токе выпрямителя (4 ярко выражена составляющая с частотой 5 Гц. а в напряжении инвертора и_и составляющая с указанной частотой пренебрежимо мала.

Вместе с тем в кривой напряжения инвертора имеют место колебания биения, которые являются следствием наложения гармонических колебаний с близкими частотами. Из рис. 8.7 видно, что биения при частоте Д = 17,5 Гц могут быть образованы гармониками с частотами /^т,л, соответствующими парам индексов (т, п) = (1,0); (0,1); (0.2); (1.1); ...

В рассматриваемом случае биения обусловлены наложением колебаний с частотами /^1,° = 105 Гц и /°’¹ = 100 Гц, в результате чего образуется переменная составляющая напряжения и~ = и~ _тах х хеш <¦>?1 сое Юб1 с частотой биения /_б = 2,5 Гц и суммарной частотой Ы = Ю2,5 Гц.

Второй максимум кривых (А* ^,'¹)* и (11^*’')* объясняется тем, что при частоте А - 48 Гц комбинационная частота /^-1,1 = 188 Гц совпадает с резонансной частотой /_рез « 200 Гц.

Аналогичным образом можно объяснить характер кривых (17*"')* и (ий*¹)*. При этом необходимо указать, что во всех случаях, когда комбинационная частота мала или близка к резонасной частоте, в спектрах токов и напряжений наблюдается увеличение амплитуд соответствующих составляющих.

Особый интерес представляет анализ зависимостей (/3’*)* ^и (^и^Л)*, т. е. гармоник с частотой /° *¹ = 100 Гц, являющихся основными гармониками выпрямленного тока и напряжения. Как будет показано, эти гармоники оказывают наибольшее влияние на АТД при работе с частотами /, > 50 Гц. Из рис. 8.9 видно, что с увеличением частоты /_г амплитуда гармоники тока(/3’¹)* возрастает и при частотах 100 Гц достигает значений постоянной составляющей тока выпрямителя. Гармоника напряжения (иЦ^л)* в диапазоне частот от 0 до 50 Гц

практически остается постоянной, а при частотах /_х > 50 Гц уменьшается, достигая минимума при ^ = 100 Гц, и при дальнейшем увеличении частоты /х начинает возрастать. Это объясняется тем, что при увеличении частоты /х эквивалентное сопротивление участка электрической цепи инвертор -двигатель для гармоники тока с частотой 100 Гц уменьшается и достигает своего минимума при частоте /, = = 100 Гц. Минимальное входное сопротивление для гармоники с частотой 100 Гц в этом режиме определяется только активными сопротивлениями указанной цепи. Конденсатор фильтра при этом оказывается шунтирован малым активным сопротивлением двигателя, и поэтому амплитуда гармоники (1Л'¹)* мала и не превышает 5 % постоянной составляющей напряжения. Амплитуды гармоники тока (/3'*)*, а также гармоники тока инвертора (/2’¹)* определяются амплитудой гармоники и\ и индуктивным сопротивлением сглаживающего реактора фильтра. Из осциллограммы токов и напряжений промежуточного звена при частоте = 70 Гц (рис. 8.10, б) видно, что амплитуды гармоник токов (/З'¹)* и (/2’¹)* составляют приблизительно 70% постоянной составляющей, а амплитуда гармоники напряжения (1/2’')* - около 20 %. Если учесть при этом реальный спектр напряжения и_а, то расчетные данные (см. рис. 8.9) хорошо согласуются с экспериментальными.

Таким образом, теоретические и экспериментальные исследования электромагнитных процессов в подсистеме Электрическая часть асинхронного тягового электропривода показывают, что токи и напряжения промежуточного звена постоянного тока, а также их спектральный состав существенно зависят от параметров элементов фильтра, типа входного преобразователя и режима работы нагрузки - АТД. В зависимости от частоты тока статора АТД искажения токов и напряжения промежуточного звена проявляются в следующем: появлении в спектре тока выпрямителя низкочастотных гармоник, увеличении высокочастотных гармоник тока и напряжения инвертора, усилении гармоник тока выпрямителя с частотами, кратными частоте сети.

Указанные явления наиболее просто могут быть объяснены, если воспользоваться приближенным методом расчета электрических цепей, содержащих преобразователи [421. Для этого рассмотрим систему уравнений (8.44) и, выделив из нее п-ю строку, для гармоник тока 1Г получим

Заметим, что коэффициенты матрицы |Л^^т>*^,л-^л определяются выражениями (8.45) и (8.46) при фиксированном индексе п, а коэффициенты столбца свободных членов |?^т|" - выражением (8.49) также для фиксированного индекса л. Это позволяет при записи соответствующих элементов указанных матриц опустить индексы, указывающие на принадлежность матриц |Л^^Ш'’|^Л'^Л и \Е^т\^п л-й строке и л-му столбцу.

Если в определителе системы Л вынести за знак определителя все диагональные элементы, то, учитывая, что диагональные элементы имеют порядок л!², порядок недиагональных элементов получившегося при этом определителя будет не менее 1/л!², а все диагональные элементы обратятся в единицы. В результате запишем определитель в виде

Рис. 8.11. Схемы замещения подсистемы Электрическая часть асинхронного тягового привода

противление входной цепи, приведенное к звену постоянного тока для гармоники с частотой 2п<о_с + 6тсл_и после несложных преобразований получим

Второе слагаемое в числителе можно трактовать двояко. В случае если т = О, в°'^п = 1И1‘^п и тогда слагаемое и3 {\Ц^'^п) следует рассматривать как ток, потребляемый нагрузкой при приложении ко входу инвертора напряжения II3 с частотой 2па>_е. Если т Ф 0, то слагаемое ЩО”’» следует рассматривать как гармонику тока •/«' ", генерируемую нагрузкой при приложении ко входу инвертора напряжения и Ц.

Считая, как и ранее, что е - иррациональное число, из выражения (8.59) получим: при т - О

где У”* ^п = и^^т‘^п -гармоника тока с частотой 2пш₀-(-6та)₁, генерируемая нагрузкой.

Уравнениям (8.60) и (8.61) соответствуют схемы замещения, показанные на рис. 8.11, а и б. Анализируя эти схемы, можно объяснить особенности процессов в подсистеме Электрическая часть.

В схеме, представленной на рис. 8.11, а, при фиксированном индексе п сопротивления 2$^,п, и 2с‘^п не зависят от режима работы двигателя и остаются постоянными при изменении частоты Сопротивление 22^,л, является комплексным, содержит активную и реактивную составляющие н может быть заменено цепочкой из двух па

раллельно соединенных сопротивлений С проводимостями Ие (\Ия'^П) и 1т (\Ин'"). Анализ зависимостей активной и реактивной составляющих проводимости инвертора показал, что при Д < 2л/_с и увеличении Д активная и реактивная составляющие проводимости увеличиваются. При этом активная составляющая достигает максимального значения при Д = 2л/_с и при дальнейшем росте частоты/, начинает уменьшаться. Реактивная составляющая проводимости при Д< 2л/_с носит индуктивный характер и достигает максимального значения при частоте Д, несколько меньшей, чем 2л/с, после чего резко уменьшается и при Д = 2л/_с становится равной нулю. При дальнейшем увеличении частоты Д реактивная составляющая вначале резко увеличивается, а затем начинает уменьшаться, оставаясь емкостной по характеру при

Д > 2л/_с.

Такой характер изменения сопротивления инвертора дает объяснение виду кривой (/2’*)* (см. рис. 8.9). Действительно, приД-»--*¦ 100 Гц эквивалентное сопротивление 1$-' уменьшается, что приводит к увеличению (/2¹)*. При Д = 100 Гц конденсатор фильтра с сопротивлением ЪЬ¹ оказывается шунтирован малым сопротивлением 22'и эквивалентное сопротивление параллельно включенных 22'¹ и гь¹ становится мало, поэтому ток (/2'*)* определяется практически только сопротивлением 1\-¹ -Ь ZSi¹ для гармоники тока с частотой 100 Гц. Последнее следует также из рассмотрения выражения (8.60). При дальнейшем увеличении частоты Д > 100 Гц реактивная составляющая проводимости инвертора становится емкостной. Это приводит к увеличению результирующей проводимости параллельно включенных конденсатора фильтра и инвертора, что вызывает дальнейшее увеличение (/2¹)*.

Анализ схемы (см. рис. 8.11, а) позволяет установить важное свойство электрических цепей, содержащих полупроводниковые преобразователи. Если на вход схемы, содержащей преобразователь частоты, подать сигнал с произвольным спектром, то в электрической схеме произойдет усиление составляющей, имеющей частоту переключений в преобразователе. В этом и проявляются частотно-избирательные или фильтровые свойства преобразователей. При этом в зависимости от типа преобразователя, характера нагрузки, подключенной к его выходу, и схемы включения преобразователя возможно также и подавление отдельных составляющих спектра.

Обратимся тепеперь к анализу схемы, показанной на рис. 8.11, б. Особенностью, отличающей рассматриваемую схему от схемы на рис. 8.11, а, является более широкий диапазон частот переменных. Так, если в схеме на рис. 8.11, а рассматриваются гармоники с фиксированными частотами 2л/_с, неизменными при изменении Д, то в схеме на рис. 8.11, б - гармоники с частотами 2л/_с + 6тД. Другая особенность заключается в том, что ток источника тока «С*" не зависит от параметров элементов промежуточного звена и определяется только амплитудой гармоники 1/2, параметрами двигателя и режимом его

работы. В этом смысле источник У™'" можно рассматривать как независимый источник переменного тока с частотой 2пш_с + 6тш₁.

В схеме на рис. 8.11, б при заданном значении У"' " распределение токов по параллельным ветвям определяется их сопротивлениями для соответствующей частоты.

Так, при 2пш_с + бтш! -> 0 сопротивление конденсатора г'с'^п -> оо, сопротивление + 1Т ^п-*• г_а + г_Вх и сопротивление 1™’ " равно значению, соответствующему входному сопротивлению инвертора при приложении к его входу постоянного напряжения. Поскольку сопротивление г_л + г_вх мало, гармоники тока (/З'^,л)* с малыми частотами 2пш_с -г 6 ти>₁ возрастают, например, гармоники (/Г^1,1)* и (/у^1,1)* при частотах = 8 ¹/₃ Гц и ^ = 16 ²/₃ Гц соответственно (см. рис. 8.9). Амплитуда же гармоник напряжения на входе инвертора (и”^,п)* из-за малости сопротивлений г_а -(- г_вх для этих частот незначительна.

С увеличением частоты 2лш_с -)- 6та>₁ сопротивление входной цепи 1™’ " 4- " возрастает, одновременно возрастает проводимость вет

ви, содержащей конденсатор фильтра, а реактивная составляющая проводимости инвертора уменьшается и при условии 2лш_с + 6т<й,> > о)! будет иметь индуктивный характер. Приближенно реактивная составляющая проводимости инвертора определяетя индуктивными сопротивлениями рассеяния двигателя. При некоторой частоте наступает равенство между проводимостью конденсатора и реактивной составляющей проводимости инвертора, что приводит к увеличению эквивалентного сопротивления параллельно соединенных ветвей Т*' " и 7_В ’ ". В результате при заданном токе /_в' " резко увеличивается гармоника напряжения на входе инвертора (1/_в ^п'" ) и, как следствие, возрастает соответствующая гармоника тока (/3¹’")* (см. рис. 8.8 - частоты /! « 16 и 33 Гц и рис. 8.9 - частоты ^ да 25 и 48 Гц).

В заключение отметим, что приведенные схемы замещения (см. рис. 8.11, а и б), а также выражения (8.60) и (8.61) позволяют проводить не только качественный анализ, но и дают возможность количественной оценки гармоник тока (/У’")*. Так, результаты расчетов, выполненных по уравнениям (8.60) и (8.61), отличаются от аналогичных результатов, полученных при решении уравнений (8.38), не более чем на 5 %. Это позволяет при анализе процессов в силовых цепях асинхронного тягового привода пользоваться приближенной методикой.